Sistemas Numéricos

Sistema Decimal

El sistema decimal utiliza un conjunto de símbolos, cuyo significado depende de su posición relativa al punto decimal, que en caso de ausencia se supone colocado implícitamente a la derecha. El hombre ha utilizado el sistema numérico decimal, basado en diez símbolos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9), que, al combinarlos, permiten representar las cantidades imaginadas; es por esto que se dice que utiliza la base 10.

Sistema Binario

Este sistema de base 2 es el más sencillo de todos por poseer sólo dos dígitos, fue introducido por Leibniz en el Siglo XVII, es el sistema que internamente utilizan los circuitos digitales que configuran el hardware de las computadoras actuales.

Sistema Octal

Se trata de un sistema de numeración en base 8 que utiliza 8 símbolos para la representación de cantidades. Los símbolos utilizados son: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Este sistema también posicional, ya que cada una de sus cifras tiene como posición la relativa al punto decimal que, en caso de no aparecer se supone implícita al lado derecho del número, este proporciona un método conveniente para la representación de códigos y números binarios utilizados en los sistemas digitales.

Sistema Hexadecimal

El sistema hexadecimal emplea la base 16. Así, tiene 16 posibles símbolos digitales. Utiliza los dígitos del 0 al 9, más las letras A, B, C, D, E y F como sus 16 símbolos digitales. Cada dígito hexadecimal representa un grupo de cuatro dígitos binarios. Es importante recordar que los dígitos hex (Abreviatura de hexadecimal) de A a F son equivalentes a los valores decimales de 10 a 15.

Árboles

ÁRBOL

Grafo conexo que no contiene ningún ciclo, existiendo siempre entre dos vértices una cadena.

Igualmente se denominan así a un procedimiento frecuentemente utilizado para tratar problemas de enumeración y probabilidad.

Elementos de un árbol: 

Raíz: Vértice del que sale uno o más arcos pero no entran.

Brote: Vértice en el que termina uno o más arcos, pero del que no sale ninguno.

Nodo raíz: Es cuando salen más arcos de los que entran.

Nodo eslabón simple: Es el que entra en arcos y salen de otro.

Arboles binarios

El grafo es conexo

 El grafo no tiene ciclos

Si v es el número de vértices; v-1 será el número de aristas

Si se agrega una lista entre 2 vértices no adyacentes se forma un ciclo.

Si suprimimos una arista cualquiera, el grafo deja de ser conexo

Para  cada par de vértices hay una sola cadena que los conecta.

Isomorfismo de Grafos

ISOMORFISMO DE GRAFOS

ISOMORFISMO DE GRAFOS

Las siguientes instrucciones se dan a dos personas que no pueden ve el papel de la otra:

Dibuje y etiquete 5 vértices: a, b, c, d, e.

Conecte:  “a-b, b-c, c-d, d-e, e-a”

 

 Las gráficas producidas se aprecian en la siguiente fig.

 G1

G2

Estas figuras definen la misma grafica a un cuando aparecesca diferentes,  se dicen que estas graficas son isoformas, las graficas G1 y G2  son Isoformas si existe función f 1º1, sobre los vértices de G1 alas aristas de G2 pero es incidente en w en G1 si solo si, la arista G (n) es existente en f(v) , f(w) G2. El par de funciones  f y g reciben el nombre de isoformofismo de G1 y G2.

 GRAFICAS PLANAS

3 ciudades C1,C2,C3 deberían conectarse en forma directa mediante autopistas con cada una de otras 3 ciudades C4,C5,C6.

 Puede diseñarse un sistema de carretera de manera que las autopistas no se crucen, la fig. anterior ilustra un sistema donde las aristas se cruzan.

Una grafica plana se puede dibujar en el plano sin que sus aristas se crucen. Al diseñar circuitos impresos es decible tener el menor de cruces posibles, así el diseñador de circuitos impresos se enfrentan con el problema de graficas planas.

Si una grafica plana conexo se dibuja en el plano , esto se divide en regiones continuas llamadas caras. Una cara se caracteriza por el ciclo que forma su frontera. Ejemplo en la siguiente grafica la cara A tiene como limite el ciclo (5,2,3,4,5) . B tiene el  ciclo (1,2,5,1), la cara anterior D se considera limitada por el ciclo (1,2, 3,4,6,1). La grafica de la figura tiene 4 caras  e igual  8 aristas y 6 vértices.

F= 4 varas

E= 8 aristas

V= 6 vértices

F= E –V +2

F= 8-6+2

F = 2

GRAFOS

GRAFOS

Es una estructura que posee elementos de una sola estructura relacionados con títulos de una misma base a estos elementos les llamaremos puntos y líneas.

El diagrama representativo de un grafo es una figura constituida por puntos unidos entre si, por segmentos o flechas.

Dirección: es ciertos grafos se indica la dirección de las líneas con una flecha. Los grafos en los que las líneas no tienen dirección se les denominan grafos no orientados.

Arista: líneas que conectan dos puntos en un grafo no orientado.

Arco: línea con dirección que conecta dos puntos en un grafo orientado.

Teoría de grafos:

Circuitos de Euler

Sea G un grafo sin vértices aislados un circuito que contiene todas las aristas de G recibe el nombre de circuito euleniano.

Teorema

Sea G un grafo, G contiene un circuito euleriano si solo si

·       G es conexo

·       Cada vértice de G es de grado par

                                        

Grado de vértice

·       El grado de un vértice es el número de aristas que se encuentran en ese mismo vértice

·       Un circuito es una trayectoria que inicia y termina en el mismo vértice

·       Una gráfica es conexa si cualquiera de sus vértices se puede unir con una trayectoria.

·       Si una gráfica no es conexa se le denomina disconexa.

CIRCUITO DE HAMILTON

Un circuito o ciclo hamiltoniano es un ciclo que contienen todos los vértices de g un circuito hamiltoniano es una trayectoria que empieza y termina en el mismo vértice y pasa por cada vértice una sola vez

PERMUTACIONES Y COMBINACIONES

PERMUTACIONES Y COMBINACIONES

Combinatoria elemental: Contando de cuantas maneras diferentes se puede seleccionar elementos de un conjunto. Para contar este número es preciso fijar los criterios de una selección a otra. Aquí tendremos en cuenta dos tipos de criterios el orden de los elementos y el número de veces que puede aparecer cada uno si distinguimos dos selecciones; cuando tienen elementos diferentes o bien cuando los elementos aparecen en un orden diferente, hablaremos de Permutaciones. En cambio sino distinguimos dos selecciones que solo difieren la ordenación de sus elementos entonces hablaremos de Combinaciones.

Si cada elemento puede aparecer por mucho una vez, hablaremos de selecciones sin repetición, mientras que si no hay esta restricción hablaremos de selecciones con repetición.

Fórmulas para permutaciones:

Con repetición   n P r = n^r

Sin repetición:   n P r = n! / (n - r)!

Formulas para combinaciones:

Con repetición:    n C r = (n + r – 1)! / r! (n – 1)!

Sin repetición:        n C r = n! / r! (n – r)!

EJEMPLO:

De un grupo de 12 alumnos van a realizar un trabajo de los cuales a tres personas se les van a designar un puesto a cada una de ellas el jefe, subjefe y auxiliar.

n P r = n! / (n - r)!

n= 12                n P r = 12! / (12 - 3)! = 12! / 9!

r= 3                    =479001600 / 362880 = 1320 permutaciones

De cuantas formas pueden mezclarse los 7 colores del arcoíris tomándolos de tres en tres.

n C r = n! / r! (n – r)!

n = 7                n C r = 7! / 3! (7 – 3)! = 7! / 3! (4)!

r= 3                         = 35 combinaciones

Recursividad

RECURSIVIDAD 

Los bucles son uno de los pilares fundamentales de la programación sin embargo, es posible construir programas sin utilizarlos. Algunos lenguajes no tienen una construcción específica de bucles técnica de programación conocida recursividad.
Esta resulta ser una técnica muy poderosa para la solución de determinados problemas.
La recursividad simplemente significa aplicar una función como parte de la definición de esa misma función. La clave de funcionamiento es que obligatoriamente debe existir una condición terminal con el objeto de que la función se bifurque a una solución no recursiva en algún punto, de lo contrario, la función entra en un bucle infinito y nunca finaliza.
La matemática factorial se define como el producto de todos los números hasta el argumento inclusive, el factorial de 1 es 1, si suponemos un poco, nos daremos cuenta de que tenemos otra manera de expresar esta función.

El factorial de n es igual a n veces del factorial de n-1, por lo tanto

1! = 1
2! =  1* 2 = 2
3! = 1*2*3 = 6
N! = 1*2*3*... (N-2)*(N-1)*N...

Principios de Conteo

Principios de Conteo

Propiedades de la multiplicación

PROPIEDAD CONMUTATIVA
Cuando se multiplica 2 números el producto es el mismo sin importar el orden de los multiplicados ejemplo, 4 * 2 = 2 * 4

PROPIEDAD ASOCIATIVA
Cuando se, multiplica 3 o más números, el producto es el mismo sin importar como se agrupan los factores ejemplo, (2 * 3) * 4 = 3 * (2 * 4)

PROPIEDAD ELEMENTO NEUTRO
El producto de cualquier número multiplicado por 1 es el mismo número ejemplo, 5 * 1 = 5

PROPIEDADES DISTRIBUTIVAS
La suma de 2 números por un tercer es igual a la suma de cada sumado por el tercer numero ejemplo, 4 + (6 + 3) = (4 * 6) + (4 * 3)

Propiedades de adicción 

PROPIEDAD CONMUTATIVA
El orden de los sumarios no altera la suma o el total ejemplo, 5 + 4 = 9 ó 4 + 5 = 9

PROPIEDAD ASOCIATIVA
La forma de agrupar más de dos sumandos no altera la suma total ejemplo, (8 + 7) + 6 =21 = 8 + (7 + 6) = 21

PROPIEDAD DE ELEMENTO NEUTRO
A cualquier número que se le adicione un 0 el resultado es el mismo ejemplo, 9 + 0 = 9 o 0 + 9 = 9

Conjuntos 2

-UNIÓN (U)

La unión de los conjuntos a y b, es el conjunto de todos los elementos  de a en todos los elementos de b sin repetir ninguna y se denota como AUB esto es:

AUB {X I X E A Ó XEB}

A = {MANGO, UVA, CIRUELA, NARANJA}

B = {UVA, NARANJA, MANZANA, SANDIA}

AUB {MANGO, UVA, CIRUELA, NARANJA, MANZANA, SANDIA}

-INTERSECCIÓN (N)

La intersección de dos conjuntos A y B, es el conjunto de los elementos de a y b también pertenece anb

ANB = {X I X E A Ó XEB}

ANB {UVA, NARANJA}

IGNORADA

Cuando no hay intersección en el conjunto, es decir, que no tiene nada que ver

ANF= {}
ANE=0

COMPLEMENTO

El complemento del conjunto a con respecto del conjunto universal, es el conjunto de todos los elementos de u que no esté en a y se denota como A¹

A¹= {X E U I X E A}

DIFERENCIA DE CONJUNTOS

La diferencia de conjuntos a y b (en ese orden) es el conjunto de los elementos que pertenece a “a” y pertenece a “b” y se denota como a-b esto es:

A-B = {X I X E A Y X E B}

 Se puede advertir A-B ≠ B-A

A= {MANGO, CIRUELA, UVA, NARANJA, MANZANA, SANDIA}

B= {DURAZNO, MELÓN, UVA, NARANJA, SANDIA, PLÁTANO}

A-B = {MANGO, CIRUELA, MANZANA}

B – A = {DURAZNO, MELÓN, PLÁTANO}

Tipos de Conjuntos

La Cardinalidad

La cardinalidad de un conjunto se define como el número de elementos que posee se denota por medio de los símbolos “n  ó #”

Un conjunto vacío o nulo

Es aquel que no posee elementos se elementos se denota por los símbolos 0, {}. El conjunto vacío siempre forma parte de otro, así  que es un conjunto de cualquier conjunto.

0 = {X I X Son los dinosaurios que viven en la actualidad}

{}= {X I X Son los hombres mayores de 300 años}

0 = {X I X Son números positivos menores de cero}

Conjunto universal

Es aquel que contiene todo los elementos bajo consideración se nota como una letra u y gráficamente se le representa mediante un rectángulo.

EJEMPLO:

U = {X I X Son los días de la semana} = {LUNES, MARTES, MIÉRCOLES, JUEVES, VIERNES, SÁBADO, DOMINGO}

A = {X I X Son los días de  la semana inglesa} = {LUNES, MARTES, MIÉRCOLES, JUEVES, VIERNES}

B = {X I X Son los días de fin de semana} = {SÁBADO, DOMINGO}

C = {X I X Son los días de la semana menores de 7 letras} = {LUNES, MARTES, JUEVES, SÁBADO}

NOTASE: ACU, BCU, CCU

Conjunto finito

Es aquel cuyos elementos puedan ser contados.

EJEMPLO:

J = {X I X ES EL NÚMERO DE DÍAS DEL MES DE NOVIEMBRE}

K = {X I X = 4}

L= {X I X ES LA CANTIDAD DE AUTOS DEL DF}

Conjunto infinito

Es aquel que no puede ser cuantificado.

N = {1, 2, 3, 4, 5, 6,…} M = {2, 4, 6, 8, 10,…}

E = {X I X  ES LA CANTIDAD DE PUNTOS EN UNA LÍNEA}

Conjuntos iguales

Dos conjuntos son iguales si tienen los mismos elementos exactamente y se denota con el símbolo =.

R = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

S = {X I X ES UN DIGITO}

Desigualdad de conjuntos

Dos conjuntos son desiguales si por lo menos diferencian en un elemento, es decir, si no tienen exactamente los mismos elementos y se denota con el símbolo ≠.

D = {X I X²=4}

E =  {-2, 2}

D ≠ E

Conjunto equivalente

Cuando tienen la misma cantidad de elementos, es decir, si posee la misma cardinalidad y se denota por el símbolo ≈.

D = {X I X SON LAS ESTACIONES DEL AÑO}

E = {X I X ES UN PUNTO CARDINAL}

D  ≈ E

N (D)= 4
N (E)=4

Conjuntos

Conjuntos

Un conjunto es un grupo de elementos u objetos especificados en tal forma que se puede afirmar con certeza si cualquier objeto dado pertenece o no a la agrupación. Para denotar a los conjuntos se usan letras mayúsculas. Cuando un elemento x₁ pertenece a un conjunto a se expresa de forma simbólica como x₁ pertenece a A. En caso de que un elementó no pertenezca a este mismo conjunto se utiliza la notación x₁ no pertenece a A. 

Existen 4 formas de anunciar a los conjuntos:

Por extensión o numeración: los elementos son encerrados entre llaves y separados por comas

EJEMPLO:

A= {X₁, X₂, X₃, X₄, X₅…X_N}

Por compresión: Los elementos se determinan a través de una condición que se establece entre llaves, este caso  se emplea el símbolo “i” (tal que)

EJEMPLO:

 A= {X I P(X)} = {X_1, X₂, X_3…X_N}

Diagramas de Ben: Son regiones cerradas que sirven para visualizar el contenido de un conjunto o las relaciones de entre conjuntos.

Por descripción verbal: Es un enunciado que describe la característica que es común para los elementos